Дайджест. Апрель 2018г.
Математика: язык или наука?
На вопрос «Что такое математика?» можно получить самые разнообразные ответы. Среди них обязательно будет и такой: «Математика – это не столько наука, сколько язык, которым пользуются все остальные науки». И это очень важное утверждение, поскольку если оно справедливо, то возникает дилемма: «А как тогда правильней обучать математике – как языку или как науке?», ведь в зависимости от сделанного выбора образовательные методики могут различаться достаточно сильно. Об особенностях преподавания математики мы пообщались с доктором физико-математических наук, профессором, автором проектов «100 уроков математики» и «Математика для гуманитариев» Алексеем Савватеевым.
Математик, доктор физико-математических наук, ректор Университета Дмитрия Пожарского, научный руководитель Центра дополнительного профессионального образования Российской Экономической Школы, профессор МФТИ, научный руководитель Кавказского математического центра при Адыгейском Государственном Университете (совместно с МФТИ), ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института, популяризатор математики среди детей и взрослых. Алексей – автор книги «Математика для гуманитариев. Живые лекции», а также проекта «100 уроков математики» для широкого круга мотивированных школьников. Читает лекции по своей программе «100 уроков» в Филипповской школе в Москве, рассказывая детям про математику – большую и настоящую!
– Роль педагога в преподавании многих дисциплин сегодня меняется. Благодаря информационным технологиям, учитель перестаёт быть носителем знаний, а становится, скорее, консультантом, который как-то направляет ученика в процессе обучения, помогает ему найти мотивацию для своего развития. Такой позиции придерживается, например, Стив Кауфман – один из самых известных в мире полиглотов. А меняется ли сегодня что-то в плане преподавания математики?
Да, меняется. А там, где не меняется – должно поменяться. Безусловно, тяжеловесные лекции, которые профессор пишет на доске, а ученики потом переписывают в тетрадь, уходят в прошлое. Сейчас благодаря интернету доступен видеоконтент – блестящие лекции ярких педагогов. Поэтому даже чтобы научить ребёнка складывать дроби, проще поставить видео и объяснять уже с его помощью. То есть учитель становится больше инструктором, нежели выступает в своей классической роли.
Причём использование такого подхода именно в России я считаю очень актуальным, поскольку учителей, которые профессионально пригодны преподавать математику, внашей стране сегодня довольно мало. Не только математику, конечно, но именно она сейчас идёт хуже всего, поскольку запоминания в ней должно быть мало, а вот понимания – много. Химию, физику или биологию выучить всё-таки проще, и основная проблема этих предметов, как, впрочем, и географии, русского языка и литературы, лежит в иной плоскости, а именно в том, что целью ставится не обучение школьника, а его натаскивание на сдачу ЕГЭ. Конечно, у многих педагогов есть профессиональная гордость, и они хотят именно учить, но с математикой это часто не «прокатывает», потому что она сложная.
– Достаточно часто приходится слышать, что нынешнее поколение детей очень сильно уступает тем, которые были ещё 20-30 лет назад. Так ли это, по вашему мнению, и если да, то какой отпечаток это должно накладывать на способ подачи материала?
Я не соглашусь с теми старыми брюзгами, которые постоянно твердят: «Вот в наше время была молодёжь так молодёжь…». Молодёжь моего времени была в большинстве своём безыдейной, а у нынешней с этим всё гораздо лучше. Кроме того, дети сейчас стали гораздо добрее и менее жестоки, да и драк в школе стало на порядок меньше. Я бы сказал, что дети стали более совестливыми, и у них появилось какое-то представление о базовой морали.
Но одновременно с этим средний уровень понимания математики, на мой взгляд, снижается, а максимальный – растёт. Ради справедливости отмечу, что движение самых последних лет в сторону упрощения тестов базового ЕГЭ на фоне вынуждения хотя бы на минимальном уровне что-то понимать несколько сбалансировало ситуацию. Средний уровень снижается потому, что дети не отрываются от своих гаджетов. Халявное времяпрепровождение, естественно, выигрывает конкуренцию у всех остальных видов деятельности. Но зато те, кто сознательно идёт в математику, самостоятельно находят в интернете всё необходимое, чтобы двигаться вперёд. Поэтому растёт максимальный уровень. Если, например, человек в 7-ом классе хочет узнать, что такое π, и как оно вычисляется – он быстро находит это в поисковике и, если он достаточно умный, то уже через несколько минут всё понимает. И вот пример: в Москве есть один школьник – Дмитрий Захаров, который в 9-ом классе написал настолько хорошую статью, что её опубликовали в одном из ведущих научных журналов. А год назад он вообще произвёл полнейший фурор, сразу двумя способами решив задачу из комбинаторной геометрии. Она была сформулирована ещё в 1962 году геометрами Людвигом Данцером и Бранко Грюнбаумом и с тех пор не имела убедительного решения. Даже знаменитый математик XX века Пал Эрдёш, бравшийся за эту задачу, смог предложить лишь крайне неэффективное и неточное решение. Сейчас Дмитрий учится в 11-ом классе, всё время думает только о математике и ищет в интернете всё то, что ему нужно. Думаю, что его судьба – стать новым Перельманом, а может быть, и кем-то бо́льшим.
Теперь о том, как эту информацию использовать при обучении математике. Я твёрдо убеждён, что самое неблагородное занятие на свете – это пытаться научить того, кто учиться не хочет. Когда я рассказываю про идею своего видеокурса «100 уроков математики» на каком-нибудь совещании, меня обычно спрашивают: «Какой процент российских школьников её сможет освоить?» Я отвечаю: «Примерно 5%, в оптимуме – может быть, 10%». «А почему вы не делаете программы для всех?» Я отвечаю: «Я делаю программы для тех, кому интересно, меня приглашают те школы, где дети с «горящими глазами» хотят заниматься математикой».
Что делать с математикой для всех, я не знаю, и особо не берусь о ней рассуждать. Этим сегментом я заниматься не буду, хотя и не говорю, что он неважен. Способным к математике нужно родиться, а если ты неспособен, ты должен освоить минимум, который необходим для твоей профессии. В принципе, в интернете есть всё для всех, но если школьники не хотят, они не будут ничего смотреть. Иногда мне попадаются настолько слабые студенты заурядных вузов, что я думаю, что их не было смысла ничему учить с самого начала.
Поэтому я бы поставил для базового уровня математики простые, чёткие ориентиры – научиться складывать дроби, научиться писать уравнение прямой, какой-то устный счёт, деление в столбик… Нужно признать, что на уровне всеобуча можно научить только начальному образованию. Но поставив эту цель, нужно выполнить её грамотно, до конца, добиваясь её исполнения столь же профессионально, как в Финляндии (но только не такой ценой, как там – ценой фактического запрета на элитный образовательный сегмент)!
Алексей Савватеев во время лекции на тему «Теория групп».
– Если брать в пример Дмитрия Захарова, то в принципе с какого возраста детей уже можно привлекать к решению нерешённых задач?
Дмитрия можно привлекать к чему угодно, а вот с остальными нужно быть поосторожнее. Всё-таки людей, которые к концу школы оперируют доброй половиной программы мехмата МГУ – очень мало, может быть, сейчас он даже один на весь мир. Но в то же время сегодня формулируется очень много новых проблем, особенно в комбинаторной геометрии, и некоторые из них вполне могут оказаться под силу и школьникам. К примеру, такая задача: дано 100 точек, нужно расставить их на плоскости так, чтобы как можно больше расстояний между ними оказались одинаковыми. Компьютер не способен решать такие задачи, так как не понимает, что ему нужно перебирать, а человеческий ум сразу рисует какие-то конструкции. Задача открыта и никому неизвестно – может школьник её решить или нет. Дмитрий, правда, мне признался, что пытался с ней справиться и понял, что она жутко сложная. (Здесь я добавлю, что эта задача ставится не буквально так, как я сказал, а в асимптотике – это комментарий для тех, кто понимает, о чём речь).
– Вы ездите с лекциями по всей России. Замечаете ли вы, что ребята как-то меняются после погружения в математику вместе с вами?
Да, со многими ребятами, которые приходят на мои лекции, эти изменения действительно происходят. Они приходят к пониманию, что есть Математика с большой буквы и есть весь остальной мир. То, что я делаю – это показываю им красоту задач. А ничего красивее, чем древние математические задачи, мир так и не создал. Сегодня я побывал в казанской школе «Солнце», где прочитал лекцию «Сказка о тройках» – о трёх способах вывода общей формулы для Пифагоровых троек. Сорок человек, затаив дыхание, слушали меня, а после лекции несколько из них подошли к директору и сказали, что после школы пойдут учиться на физ-мат-специальности. И это то, ради чего я езжу с лекциями. Всё, их состояние изменено, я «нажал на кнопку». И на самом деле это означает, что дальше они могут заниматься всем, чем угодно – собственно, математикой, химией, физикой или даже биологией, но эти физика, химия и биология будут у них с хорошей математической базой.
А.Савватеев
Широкой аудитории Алексей Савватеев хорошо известен двумя своими проектами – серией видеороликов «100 уроков математики» и книгой «Математика для гуманитариев. Живые лекции». – А в чём состоит красота математики, о которой вы говорите?
Настоящая красота проявляется только тогда, когда ты прилагаешь определённые интеллектуальные усилия, чтобы в чём-то разобраться. Может быть, я приведу сейчас не самый удачный пример, но он, как мне кажется, достаточно точно описывает ситуацию. А заключается он в том факте, что я очень люблю некоторых поэтов, например, Бродского. Но полюбил я его далеко не сразу. Сначала я читал его тексты поверхностно, но как только я приложил умственное усилие, я смог прочувствовать удивительную внутреннюю гармонию его стихов. Для того, чтобы увидеть красоту в математике, тоже необходим акт серьёзной интеллектуальной работы. Нужно заставить себя это сделать, иначе ты ничего не увидишь – эта красота скрыта.
Красоту физики и химии можно увидеть через опыты, эксперименты, и можно впечатлиться, совершенно не прилагая интеллектуальных усилий. Но настоящий химик, конечно же, тоже задумается: «А как это вышло? Какие реактивы были использованы? Какие процессы произошли?». И если для несведущего человека Н2SO4 – это всего лишь какая-то формула, то для химика это язык, благодаря которому он представляет в своём мозгу пространственное изображение этой молекулы и понимает, какие атомы в случае реакции будут заменяться, какие новые связи возникнут, и какие – разорвутся. Спасибо, кстати, Александру Иванову из «Химии – просто» за возвращение во мне любви к химии, ведь в школе у меня даже грамота есть за освоение химии с особым отличием.
– У некоторых продвинутых педагогов существует такая позиция: «Математика – это язык, а не набор задач и правил; и именно как язык её надо преподавать в школе». Насколько, по-вашему, справедливо это утверждение? Древний человек смотрел на окружающие его процессы – на то, как растёт дерево, как течёт вода, как летит птица – и постепенно начинал описывать их какими-то формулами. Но когда он начал разбираться по-настоящему, полностью абстрагируясь от опыта физика и изучая лишь сами модели, возникла тяжелейшая наука под названием абстрактная алгебра. Она выкристаллизовалась из размышлений о математике за прошедшие 3 тысячи лет. Люди думали, решали проблемы – так постепенно и сформировался язык, которым является абстрактная алгебра. Он очень сложный, и в нём содержится огромное количество тяжеловесных определений, для мозга поначалу непонятных. Но я бы тем не менее его преподавание растянул далеко вниз, вплоть до 4-5 класса школы. Уже в этом возрасте с ребятами можно начинать говорить, например, о таком понятии как «группа», то есть о множестве с операцией, вместе удовлетворяющих определённым требованиям, аксиомам. Нужно это для того, чтобы уже в достаточно раннем возрасте погрузить человека в языковую среду – точно так же, как это делается (или должно делаться) при изучении иностранных языков. Но если в языках слова, как правило, учатся одновременно с правилами построения фразы, то в математике язык и правила обращения с ним отделены друг от друга. Ты довольно долго пытаешься понять смыслы, и только потом очень постепенно начинаешь видеть, как различные категории взаимодействуют друг с другом, какие рассуждения логически верны, какие – просто осмыслены, и как строить их самому. В 4-5 классе язык воспринимается проще, а тяжёлая работа ума начинается чуть позже. Кроме того, в отличие от языков, в математике есть строгая логическая составляющая – все определения выстроены в соответствии с тем, к чему мы идём, какие уравнения, какие задачи с помощью этих понятий мы будем впоследствии решать. Поэтому, действительно, некоторый опыт преподавания языков математикам следовало бы взять на вооружение, но копировать его полностью нельзя ни в коем случае.
– В одном из своих выступлений вы заявили, что через 15-20 лет единственной востребованной профессией будет профессия математика. Не слишком ли категоричное утверждение?
Конечно, каждый из нас горазд что-то прогнозировать, и что будет в 30-х годах, наверняка не знает никто. Но то, что во всём мире начнётся чудовищный коллапс занятости – это факт. Без работы останутся многие, поскольку их достаточно быстрыми темпами заменят роботы. Уже в ближайшее десятилетие с появлением беспилотных автомобилей, как класс, скорее всего, полностью вымрет профессия таксиста. Это будет очень болезненный удар, поскольку сегодня человек, по каким-то причинам потерявший свою работу, всегда имеет возможность зарабатывать извозом. Вскоре такой отдушины не будет, а вслед за профессией таксиста «пойдут в известном направлении» и многие другие профессии.
Одно из того немногого, что в итоге действительно останется человеку – это интеллектуальные творческие процессы. Но вся штука в том, что за любым сколь угодно сложным интеллектуальным процессом – будь то современный физический эксперимент, бизнес-процесс, программирование роботов или архитектурное проектирование, лежит крайне сложная математика. Возможно, эти люди и не будут называться математиками как таковыми, но по сути будут они заниматься именно ею.
Эти процессы не обойдут стороной даже госслужащих. Чиновник, который занимается, например, организацией транспорта, просто обязан быть математиком, иначе усидеть в своём кресле он не сможет – его быстренько заменят тем, кто в этом разбирается. Модуль по математической теории игр сейчас собираются включить даже в программу подготовки кадров на губернаторские посты, которая реализуется в АНХ (Российская академия народного хозяйства и государственной службы), и есть вероятность, что я буду принимать в этом участие. Какие-то отдельные люди, которые не разбираются в математике, конечно, останутся, но зато это будут те, кто хорошо разбирается в самих математиках и способен формировать из них команды для работы над определёнными проектами.
Что станет с остальными – я не знаю. Возможно, они уедут обратно в деревню. Возможно, начнут потихоньку спиваться и умирать. На Западе в качестве решения проблемы склоняются к выплате безусловного дохода, но я боюсь, что они тоже до конца не понимают, насколько далеко всё это может зайти.
– А что всё-таки делать? В срочном порядке бежать и учить математику?
Это всегда вопрос собственного выбора человека, его желания жить полноценной жизнью, а не пребывать в каком-то расслабленном статичном состоянии. Человечество уже неоднократно проходило через периоды жестокой конкуренции, когда успеха добивались лишь те, кто напрягался физически или умственно. Остальным же практически ничего не доставалось (конечно, при условии, что ты не богатый наследник). Сегодня ситуация другая, и для того, чтобы вполне безбедно существовать, не требуется вникать во что-то трудное. Вы можете быть даже самым заурядным программистом, но получать при этом вполне приличную зарплату. Но совсем другое дело, если ширпотребу вы предпочитаете что-то оригинальное, если хотите жить полноценной жизнью и заниматься сложными вещами. В этом случае математика нужна вам и сегодня, хотя бы для того, чтобы в этих сложных вещах разобраться. Любому человеку, который работает над чем-то сложным, нужна математика. Я вообще считаю, что само предназначение человека – это заниматься чем-то трудным, и математика ему в этом хороший помощник, поскольку она развивает его мозг и интеллект.